Los Grandes Pitágoras & Tales de Mileto

Pitágoras (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.)

Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) fue un filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la aritmética, derivada particularmente de las relaciones numéricas aplicadas a la teoría de la música, la astronomía y la teoría de pesos y medidas. Es el fundador de lahermandad pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, formularon principios que influenciaron a tanto a Platón como a Aristóteles, y de manera más general, al desarrollo de las matemáticas y la filosofía racional en Occidente.

No se conserva ningún escrito original de Pitágoras, y sus discípulos los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que es difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y las de sus seguidores. Aun así, se le acredita a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en música. Otros descubrimientos generalmente atribuidos a él (la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado, o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos) fueron probablemente desarrollados posteriormente por la escuela pitagórica.

Juventud

El padre de Pitágoras era Mnesarco, un mercader de Tiro, y su madre Pythais, originaria de Samos. Pitágoras vivió los primeros años en Samos, y viajó mucho con su padre; es posible que éste lo llevara a Tiro, y que allí recibiera instrucción de caldeos y hombres instruídos de Siria.

Poco se sabe de la niñéz de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes mencionan tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Entre sus profesores, se menciona a tres filósofos, principalmente Ferécides de Siros, quien es descrito a menudo como el maestro de Pitágoras. Los otros dos filósofos que influenciaron a Pitágoras en su juventud, y que lo introdujeron a las ideas matemáticas, fueron Tales y su pupilo Anaximandro, ambos de Mileto. Según Jámblico, en su Vida de Pitágoras, a la edad de 18 o 20 años, éste visita a Tales, en Mileto. Si bien ya debía ser un anciano para entonces, habría ejercido una fuerte impresión en Pitágoras, interesándolo por las matemáticas y la astronomía, y aconsejándole visitar Egipto para interiorizarse más sobre estas cuestiones. Anaximandro impartía las enseñanzas de Tales, lecturas a las cuales asistió Pitágoras, y muchas de sus ideas sobre geometría y cosmología influyeron en su propia visión

Según algunos relatos, se casó con Téano, de Crotona, y tuvieron una hja Damo y un hijo Telauges; otros dicen que dos hijas Damo y Myia; otros dan noticia de que ya tenía esposa e hija cuando llegó a Crotona. 

La hermandad pitagórica

Pitágoras fundo una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matematikoi, vivían al seno de esta sociedad de forma permanente, no tenía posesiones personales y eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oían las enseñanzas Pitágoras directamente y debían observar reglas estrictas. Sus máximas pueden sintetizarse como: 

*Que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática.

*Que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual.

*Que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;

*Que ciertos símbolos son de naturaleza mística.

*Que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

En la «Hermandad pitagórica» eran aceptados tanto hombres como mujeres.


Aquellos que no pertenecían al núcleo duro del grupo, eran llamados akousmatikoi. Estos vivían en sus propias casas, se les permitía tener posesiones personales y no se les imponía el vegetarianismo; sólo asistían como oyentes durante el día. Según Krische las mujeres pertenecían a este grupo, sin embargo, muchas pitagóricas fueron después reconocidas filósofas. 

Se sabe que los pitagóricos se expandieron rápidamente después de 500 a.C., que la sociedad tomó tintes políticos y que más tarde se dividió en facciones. En 460 a.C. fueron atacados y suprimidos, sus casas de encuentro saqueadas y quemadas; se menciona en particular la "casa de Milo" en Crotona, donde más de 50 pitagóricos fueron sorprendidos y aniquilados. Aquellos que sobrevivieron se refugiaron en Tebas y otras ciudades.

 

Matemáticas 

La ciencia matemática practicada por Pitágoras y los matematikoi difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos problemas abiertos en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Como señala Brumbaugh "Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica".

Entre los descubrimientos matemáticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras se encuentran: 

Figuras geométricas:

Teorema de Pitágoras.

*El teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si bien este teorema ya era conocido y aplicado por losmatemáticos babilonios y de la India desde hacía un tiempo considerable, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los Elementos. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo). Debe hacerse hincapié además, en que el cuadrado de un número no era interpretado como un número multiplicado por sí mismo, como se concibe actualmente, sino en términos del los lados de un cuadrado geométrico.

*Sólidos perfectos. Los pitagóricos demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares. Se cree que Pitágoras sabía cómo construir los tres (o cuatro) primeros, pero fue Hipaso de Metaponto (470 a.C.) quien descubrió el dodecaedro (cuenta la leyenda, que Hipaso fue expelido del grupo por no haber atribuido el hecho al maestro).

*Ángulos interiores de un triángulo. Encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, así como la generalización de este resultado a polígonos den - lados.

*Un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición atribuida a los pitagóricos.

*Construcción de figuras dada un área determinada. Por ejemplo la resolución de ecuaciones comoa•(a-x)=x² por métodos geométricos.

Relaciones numéricas:

*La irracionalidad de . Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros. Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales, si bien a la época, sólo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad de magnitudes (números) enteras, o proporciones geométricas. Un método de aproximación, posiblemente desarrollado por Arquitas, utiliza el algoritmo de Euclides, y está presente en Los Elementos.

*El descubrimiento de los Números perfectos y los Números amigos. Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Un par de números son amigos si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras el haber descubierto el par de números amigos (220, 284).

*Medias. Los pitagóricos examinaron la media aritmética, la media geométrica y la media armónica y las relaciones entre ellas.

*El descubrimiento de los Números poligonales. Un número es poligonal (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de puntos se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 

1,2,3, etc. (ver figura).

Tetraktys

 *Tetraktys. Se atribuye a Pitágoras el haber ideado la Tetraktys, la figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas. Fue un símbolo de especial importancia para los pitagóricos, que solían juramentar en 

su nombre.    

*Aplicación de las relaciones numéricas en pesos y medidas.

Tales de Mileto  (ca. 630 - 545 a. C. )

fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría. 

Aportes como matemático

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un circulo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.

Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Mas, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.

Teorema de Tales

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersectadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales. 

Una aplicación del Teorema de Thales 

*Primer Teorema de Tales

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que: 

Teorema primero Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Tales de Mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

*Segundo Teorema de Tales

fig 2.1 Ilustración del
 enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. 

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto deA y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto. Tales de Mileto

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

DEMOSTRACIÓN

fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro,
el ángulo B será constante y recto. 

En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles 

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Datos de su vida y anécdotas

Los datos biográficos de Tales de Mileto son una mezcla de opiniones, hechos atribuidos a su persona, y citas con mayor o menor grado de verosimilitud, recogidas de diversos autores de épocas bastante posteriores, reinterpretados y expuestos a la luz de la mentalidad del narrador. Contamos con el importante aporte de Aristóteles, el cual, en su descripción, intenta delimitar los escritos y dichos atribuibles con certeza al mismo Tales de los hechos dudosos ('dicen...') y de sus propias opiniones ('quizá quiso decir...').

Tales nació en la ciudad de Mileto (griego: Μίλητος literalmente Miletos, turco: Milet), una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es la Provincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes.

Fue hijo de Euxamias (conocido también como Examio) y de Cleobulina (o Cleóbula), y al parecer tuvo ascendencia fenicia. Como los jonios mantenían tráfico comercial con Egipto y Babilonia, es probable que Tales visitara el primero en su juventud, durante el reinado del faraónAmasis, en donde se supone que fue educado por los sacerdotes. Quizás fueron condiscípulos suyos Solón y Ferécides de Siros. Una fuente tardía lo vincula con Pitágoras, a quien habría recomendado viajar a Egipto y educarse con los sacerdotes de Menfis y Dióspolis. De los babilonios debió aprender astronomía. Anaximandro y Anaxímenes pueden haber sido discípulos suyos. Apolodoro, en su Cronología, afirma que murió a la edad de setenta y ocho años. Sin embargo, Sosícrates asegura que murió en la olimpiada LVIII, a la edad de noventa años. 


Quizás la anécdota más conocida de Tales es aquella que nos refiere Heródoto, cuando predijo a los jónicos el año en que sucedería un eclipse solar (quizá llevada a cabo gracias al sistema babilónico), hacia el año 585 a. C. Asimismo, Diógenes Laercio recuenta que, al caer Tales en un pozo después de ser llevado por una vieja mujer a ver las estrellas, ésta replicó a su pedido de ayuda: ¨¿Cómo pretendes, Tales, saber acerca de los cielos, cuando no ves lo que está debajo de tus pies?¨ La anécdota procede de Platón, que la incluye en el Teeteto para expresar una idea parecida a la de Aristóteles: el filósofo se preocupa más de la filosofía y de la naturaleza en general que de lo inmediato.

Obra

Simplicio escribió: Se dice de Tales que no dejó nada escrito, excepto la llamada Astrología Náutica (Simplicio, Fís. 23, 32-33). Sin embargo, Diógenes Laercio comenta que Astrología Náutica es una obra de Foco de Samos, pero, que según otros, Tales escribió solo dos obras: Sobre el solsticio y Sobre el equinoccio (D. Laercio, I, 23).